海伦公式的推导？

海伦公式

开放分类： 数学、定理、公式、秦九韶、海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）：

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P＝1时，△ 2＝q,

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因式分解得

1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s=8√ 3

海伦·凯勒简介

（1） 海伦·凯勒（Helen Keller）(1880年6月27日-1968年6月1日)，是美国盲聋女作家和残障教育家。1880年出生于亚拉巴马州北部一个叫塔斯喀姆比亚的城镇。她在17个月的时候因为一次急性脑充血夺去了她的视力和听力，接着，她又丧失了语言表达能力。然而就在这黑暗而又寂寞的世界里，她因为她的导师安妮·沙利雯(Anne Sullivan)的努力，使她学会读书和说话，并开始和其他人沟通。而且以优异的成绩毕业于美国拉德克利夫学院，成为一个学识渊博，掌握英、法、德、拉丁、希腊五种文字的著名作家和教育家。她走遍美国和世界各地，为盲人学校募集资金，把自己的一生献给了盲人福利和教育事业。她赢得了世界各国人民的赞扬，并得到许多国家政府的嘉奖。主要作品有《假如给我三天光明》、《我的生活》、《我的老师》等。

海伦·凯勒自幼因病成为盲聋哑人，但她自强不息，克服巨大困难读完大学。一生写了十几部作品，同时致力于救助伤残儿童，保护妇女权益和争取种族平等的社会活动。1964年获得总统自由勋章。

她在黑暗中摸索着长大。七岁那一年，家里为她请了一位家庭教师，也就是影响海伦一生的莎莉文老师。莎莉文在小时候眼睛也差点失明，了解失去光明的痛苦。在她辛苦的指导下，海伦用手触摸学会手语，摸点字卡学会了读书，后来用手摸别人的嘴唇，终于学会说话了。

莎莉文老师为了让海伦接近大自然，让她在草地上打滚，在田野跑跑跳跳，在地里埋下种子，爬到树上吃饭；还带她去摸一摸刚出生的小猪，也到河边去玩水。海伦在老师爱的关怀下，竟然克服失明与失聪的障碍，完成了大学学业。

1936年，和她朝夕相处五十年的老师离开人间，海伦非常的伤心。海伦知道，如果没有老师的爱，就没有今天的她，决心要把老师给她的爱发扬光大。于是，海伦跑遍美国大大小小的城市，周游世界，为残障的人到处奔走，全心全力为那些不幸的人服务。

1968年，海伦89岁去世，她把所有终生致力服务残障人士的事迹，传遍全世界。她写了很多书，她的故事还拍成了**。沙利文老师把最珍贵的爱给了她，她又把爱散播给所有不幸的人，带给他们光明和希望。

死后，因为她坚强的意志和卓越的贡献感动了全世界.并且各地人民都开展了纪念她的活动。

她的相关作品

她一生写过14本著作

《奇迹缔造者》（台湾译名：海伦·凯勒）（2000，TV Movie，迪士尼）

《假如给我三天光明》

《我的生活》

《我的老师》

《我黑暗中的光明》

《石墙之歌》

《乐观》

《走出黑暗》等

假如给我三天光明（节选）

(美) 海伦·凯勒

我们谁都知道自己难免一死。但是这一天的到来，似乎遥遥无期。当然，人们要是健康无恙，谁又会想到它，谁又会整日惦记着它。于是便饱食终日，无所事事。

有时我想，要是人们把活着的每一天都看作是生命的最后一天，那该有多好啊！这就更能显出生命的价值。如果认为岁月还相当漫长，我们的每一天就不会过得那样有意义、有朝气，那样充满热情。

我们对待生命如此怠倦。在对待自己的各种天赋及使用自己的器官上，又何尝不是如此？只有那些盲了的人才更加珍惜光明。那些成年后失明、失聪的人就更是如此。然而，那些耳聪目明的人却从来不好好地利用他们的这些天赋。他们视而不见、充耳不闻，无任何鉴赏之心。事情往往就是这样，一旦失去了的东西，人们才会留恋它。人们得了病才想到健康的幸福。如果让每个人在他成人后的某个阶段瞎上几天、聋上几天，黑暗将使他们更加珍惜光明；寂静将教会他们真正领略喧哗的欢乐……

请你思考一下这个问题：假如你只有三天的光明，你将如何使用你的眼睛？想到三天后，太阳再也不会在你的眼前升起，你又将如何度过你那宝贵的三日？你又会让你的眼睛停留在何处？

海伦·凯勒生平

海伦·凯勒好像注定要为人类创造奇迹，或者说，上帝让她来到人间，是向常人昭示着残疾人的尊严和伟大。她一岁半时突患急性脑充血病，连日的高烧使她昏迷不醒。当她苏醒过来，眼睛烧瞎了，耳朵烧聋了，那一张灵巧的小嘴也不会说话了。从此，她坠入了一个黑暗而沉寂的世界，陷进了痛苦的深渊。

1887年3月3日，对海伦来说这是个极重要的日子。这一天，家里为她请来了一位教师——安妮·莎莉文**。安妮教会她写字、手语。当波金斯盲人学校的亚纳格诺先生以惊讶的神情读到一封海伦完整地道的法文信后，这样写道：“谁也难以想象我是多么地惊奇和喜悦。对于她的能力我素来深信不疑，可也难以相信，她3个月的学习就取得这么好的成绩，在美国，别的人要达到这程度，就得花一年工夫。”这时，海伦才9岁。

然而，一个人在无声、无光的世界里，要想与他人进行有声语言的交流几乎不可能，因为每一条出口都已向她紧紧关闭。但是，海伦是个奇迹。她竟然一步步从地狱走上天堂，不过，这段历程的艰难程度超出任何人的想象。她学发声，要用触觉来领会发音时喉咙的颤动和嘴的运动，而这往往是不准确的。为此，海伦不得不反复练习发音，有时为发一个音一练就是几个小时。失败和疲劳使她心力憔悴，一个坚强的人竟为此流下过绝望的泪水。可是她始终没有退缩，夜以继日地刻苦努力，终于可以流利地说出“爸爸”“妈妈”“妹妹”了，全家人惊喜地拥抱了她，连她喜爱的那只小狗也似乎听懂了她的呼唤，跑到跟前直舔她的手。

1894年夏天，海伦出席了美国聋人语言教学促进会，并被安排到纽约赫马森聋人学校上学，学习数学、自然、法语、德语。没过几个月，她便可以自如地用德语交谈；不到一年，她便读完了德文作品《威廉·退尔》。教法语的教师不懂手语字母，不得不进行口授；尽管这样，海伦还是很快掌握了法语，并把小说《被强迫的医生》读了两遍。在纽约期间，海伦结识了文学界的许多朋友。马克·吐温为她朗读自己的精彩短篇小说，他们建立了真挚友谊。霍姆斯博士在梅里迈克河边幽静的家里为她读《劳斯·豆》诗集，当读到最后两页时，霍姆斯把一个奴隶塑像放在她手中。这个蹲着的奴隶身上的锁链正好掉落下来，霍姆斯对海伦说：“她是你思想的解放者。”博士指的是安妮**。海伦的心中一阵激动，人世间美好的思想情操，隽永深沉的爱心，以及踏踏实实的追求，都像春天的种子深深植入心田。海伦从小便自信地说：“有朝一日，我要上大学读书!我要去哈佛大学!”这一天终于来了。哈佛大学拉德克利夫女子学院以特殊方式安排她入学考试。只见她用手在凸起的盲文上熟练地摸来摸去，然后用打字机回答问题。前后9个小时，各科全部通过，英文和德文还得了优等成绩，海伦怀着热切的心情开始了大学生活。

1904年6月，海伦以优异的成绩从拉德克里夫学院毕业。两年后，她被任命为麻萨诸塞州盲人委员会主席，开始了为盲人服务的社会工作。她每天都接待来访的盲人，还要回复雪片一样飞来的信件。后来，她又在全美巡回演讲，为促进实施聋盲人教育计划和治疗计划而奔波。到了1921年，终于成立了美国盲人基金会民间组织。海伦是这个组织的***之一，她一直为加强基金会的工作而努力。在繁忙的工作中，她始终没有放下手中的笔，先后完成了14部著作。《我生活的故事》《石墙之歌》《走出黑暗》《乐观》等，都产生了世界范围的影响。海伦的最后一部作品是《老师》，她曾为这本书搜集了20年的笔记和信件，而这一切和四分之三的文稿却都在一场火灾中烧毁，连同它们一起烧掉的还有布莱叶文图书室、各国赠送的精巧工艺礼品。如果换一个人也许心灰意冷，可海伦痛定思痛，更加坚定了完成它的决心，她不声不响地坐到了打字机前，开始了又一次艰难的跋涉。10年之后，海伦完成了书稿。她很欣慰，这本书是献给安妮老师的一份厚礼，老师安妮也为此而感到无比骄傲。

1956年11月15日，竖立在美国波金斯盲童学校入口处的一块匾额上的幕布，由海伦用颤抖的手揭开了，上面写着：纪念海伦·凯勒和安妮·莎莉文·麦西。这不是一块普通的匾额，而是为那些在人类文明史上写下了突出篇章的人们所设立的。的确，海伦把一生献给了盲人福利和教育事业，赢得了全世界人民的尊敬，联合国还曾发起“海伦·凯勒”世界运动。1968年6月1日，海伦·凯勒——这位谱写出人类文明史上辉煌生命赞歌的聋哑盲学者、作家、教育家，在鲜花包围中告别了人世。然而，她那不屈不挠的奋斗精神，她那带有传奇色彩的一生，却永远载入了史册，正如著名作家马克·吐温所言：“19世纪出现了两个了不起的人物，一个是拿破仑，一个就是海伦·凯勒。”

《我黑暗中的光明》是关于人类精神升华的一本书。生来既聋又盲的海伦·凯勒早年生活在与常人隔离的孤寂境况中，而这对一个人精神的发展是如此重要。

在全人类的神的爱护下，她得以同他人接触。 精神上的发展带领她走上了写作生涯。

海伦.凯勒被视为本世纪最富感召力的作家之一。

海伦·凯勒生平：

1880年6月27出生在美国亚拉巴马州塔斯喀姆比亚。

1882年1月因患猩红热致盲致聋。

1887年3月安妮·沙利文成为凯勒的老师。

1899年6月考入哈佛大学拉德克利夫女子学院。

1902–1903撰写出版《我的一生》（有的译作《我生活的故事》）。

1904年6月以优等成绩毕业于哈佛大学。

1908–1913 著《我的天地》（又译作《我生活中的世界》）、《石墙之歌》、《冲出黑暗》等著作。

1916年遭受婚姻不幸。

1919年其生活的故事被搬上好莱坞的舞台，并由其本人任主演。

1924年成为美国盲人基金会的主要***之一。

1929年著《我的后半生》（也译作《中流––––我以后的生活》）。

1930年旅游英国。

1931–1933年荣获坦普尔大学荣誉学位。访问法国、南斯拉夫、英国。

1936年10月20日老师安妮·沙利文去世。

1942–1952年出访欧、亚、非、澳各大洲十三国。

1953年美国上映凯勒生活和工作的记录片《不可征服的人》。

1955年著《老师：安妮·沙利文·梅西》并荣获哈佛大学荣誉学位。

1959年联合国发起“海伦·凯勒”世界运动，以资助世界上的盲聋儿童。

1960年描述她成长经历的剧本《奇迹的创造者》获普利策奖，并被拍成**，同年美国海外盲人基金会颁布“海伦·凯勒”奖金。

1964年荣获总统自由勋章。

1968年6月1日与世长辞。