什么是Z变换

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Z变换（Z-transformation）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位。Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具，并且在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

详情介绍

Z变换（Z-transformation）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位。Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具，并且在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

中文名

Z变换

外文名

Z-transform

提出者

狄莫弗

提出时间

1730年

适用领域

线性常系数差分方程

应用学科

数学

特点

复频域、频域、差分方程

Z变换简介

Z变换（Z-transformation）可将时域信号（即离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，把线性移（时）不变离散系统的时域数学模型——差分方程转换为Z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应及稳定性等。

Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个（或一系列各种）系统的处理后输出所需要的信号序列，因此，首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知，若直接在时域中求解，则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和，故为求输出信号，必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换，然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。这里的反变换即逆Z变换，是由信号序列的Z变换反回去求原信号序列的变换方式。

当前，已有现成的与拉氏变换表类似的Z表。对于一般的信号序列，均可以由表上直接查出其Z变换。相应地，当然也可由信号序列的Z变换查出原信号序列，从而使求取信号序列的Z变换较为简便易行。

Z变换历史

在变换理论的研究方面，霍尔维兹（W. Hurewicz）于1947年迈出了第一步，他首先引进了一个变换用于对离散序列的处理。在此基础上，崔普金于1949年、拉格兹尼和扎德（R.Ragazzini和LA. Zadeh）于1952年，分别提出和定义了Z变换方法，大大简化了运算步骤，并在此基础上发展起脉冲控制系统理论。

由于Z变换只能反映脉冲系统在采样点的运动规律，崔普金、巴克尔（R.H. Barker）和朱利（EIJury）又分别于1950年、1951年和1956年提出了广义Z变换和修正Z变换（modified Z-transformation）的方法。

Z变换双边Z变换

称为X（z）的收敛域。

Z变换单边Z变换

称为X（z）的收敛域。

Z变换关系及比较

双边Z变换与单边Z变换的关系：

式中

可见，因果序列的单边Z变换与双边Z变换的结果相同。由于单边Z变换的求和下限为n=0，所以任一有界序列x（n）（因果或非因果序列）的单边Z变换等于因果序列x（n）E（n）的双边Z变换。双边Z变换的求和范围为n=-∞到∞，单边Z变换的求和范围为n=0到∞。

由于单边Z变换可以考虑到初始条件，所以用于在已知系统的初始状态以及序列的初始条件时求取系统的瞬态响应，既可以求零输入响应，又可以求零状态响应。

Z变换收敛域

根据Z变换的定义可知，Z变换收敛的充要条件是它满足绝对可和条件，即：

（单边Z变换）

（双边Z变换）

在z平面上使上式成立的z的取值范围Rx称为任意给定的有界序列x（n）的Z变换X（z）的收敛域。

Z变换主要性质

Z变换X（z）的收敛域是z平面上以原点为中心的同心圆环：Rx1
Z变换X（z）的收敛域内不能包含任何极点。

Z变换分类

不同序列的双边Z变换的收敛域如下表所示。

Z变换基本性质

Z变换的基本性质如表1所示：

1

	序列	Z变换	收敛域	备注
1
2
3				线性性
4				时域反转
5				序列卷积
6				序列相乘
7				序列共轭
8				频域微分
9				序列移位
10			因果序列	初值定理
11			收敛于	终值定理

Z变换常用变换对

常用序列的Z变换如图5和图6：

逆Z变换的定义式为：

式中n=...-2，-1，0，1，2...。若已知X（z）及其收敛域，则可以求出其Z逆变换。

求解逆Z变换的计算：

部分分式法
幂级数展开法（长除法）依据：X（z）的级数中z^-n的系数就是序列x（n）。它只适用于左边序列（包括反因果序列）和右边序列（包括因果序列）。幂级数展开法的缺点是不易求出序列x（n）的闭合表达式。当X（z）的逆变换不是时限序列时，用部分分式法和留数法较为方便。
留数法（围线积分法）所谓留数法是指将Z逆变换式的计算转换成求X（z）z^（n-1）的留数计算，即

Z变换与傅里叶变换的关系

因为

，按Z变换的定义，X（z）可写成

上式的Z变换可以看作为序列x（n）乘以指数序列r^（-n）后的傅里叶变换。

在单位圆|z|=1上，r=1，使上式变成：

所以序列在单位圆上的z变换即为序列的频谱，频谱与z变换是一种符号代换，单位圆上的z变换即为序列的傅里叶变换。