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可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间,则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的,如果存在 V 的一个基,T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
详情介绍
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间,则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的,如果存在 V 的一个基,T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。
- 中文名
- 可对角化矩阵
- 外文名
- diagonalizable matrix
- 所属领域
- 线性代数和矩阵论
- 所属学科
- 数学
- 相关概念
- 矩阵、对角矩阵、线性变换等
- 释义
- 线性代数和矩阵论中一类矩阵
可对角化矩阵定义
如果一个矩阵与一个对角矩阵相似,我们就称这个矩阵可经相似变换对角化,简称可对角化;与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换。
任取
若
反过来,如果
可对角化矩阵性质定理
可对角化矩阵定理1
m级矩阵
由上面的分析还知道,如果求出了矩阵
可对角化矩阵定理2
属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明: 设
(1)当
(2)假定
当
①
用
②
①式两边乘以
③
从
②减去
③得
由归纳假设得
因为
①得
用
在特征值和特征向量方面,矩阵与线性变换的理论是平行的,下面只就矩阵进行讨论,所得的结果对线性变换也成立。
可对角化矩阵推论1
若
因为复数域上的n次多项式恰有n个根,所以我们还有下面的推论。
可对角化矩阵推论2
如果
可对角化矩阵推论3
如果
可对角化矩阵定理3
矩阵
证明: 若
可对角化矩阵定理4
矩阵
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