什么是初等矩阵

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初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

详情介绍

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

中文名

初等矩阵

外文名

Elementary matrix

所属学科

线性代数

相关名词

单位矩阵

应用领域

数学

别名

基本矩阵

初等矩阵概念

初等变换有三种

（1）交换矩阵中某两行（列）的位置；

（2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；

（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。

三类初等矩阵行列式的值是：

（1）：-1

（2）：k

（3）：1

初等矩阵性质

1、单位矩阵第i,j两行互换得到的方阵为

，将矩阵

的第i,j两行互换所得矩阵

，即有

=

*

。

说明：任意矩阵

的交换i,j行（列），取决于

是左乘

，还是右乘

，即：

*

是交换行i,j变换，

*

是交换列i,j变换。

2、单位矩阵第i行乘以常数k得到初等方阵

，将矩阵

的第i行乘以k得到矩阵

，即有

=

*

。

说明：任意矩阵

的行（列）乘以常数k，取决于

是左乘

，还是右乘

，即 ：

*

是矩阵

行乘以常数k变换，

*

是矩阵

列乘以常数k变换。

3、将单位矩阵的第i行的k倍加到第j行得到初等方阵

，矩阵

的第i行的k倍加到第j行得到矩阵

，即有

=

*

；将单位矩阵的第j列的k倍加到第i列得到初等方阵

，矩阵

的第j列的k倍加到第i列得到矩阵

，即有

=

*

。

说明：任意矩阵

与初等矩阵相乘，表示对A进行初等变换，但对A进行的是行初等变换还是列变换，取决于初等矩阵

是左乘

，还是右乘

，即：

*

是行初等变换，此时

的变换表示将

的第j行的k倍加到第i行（顺序从前向后）；

*

是列初等变换，此时

的变换表示将

的第j列的k倍加到第i列（顺序从后向前）。

初等矩阵应用

（1）在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。