什么是裴蜀定理

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在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

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在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x以及 y 的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。

中文名

裴蜀定理

外文名

Bézout's Lemma

别名

贝祖定理

提出者

艾蒂安·裴蜀

适用领域

数论--不定方程

应用学科

数学

裴蜀定理简介

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

裴蜀定理证明

证法一：

设

则

。由整除的性质，

，有d|(ax+by)。

设s为ax+by最小正值，令

，则,

。

可见

也为

的线性组合。

由于

为

所得,所以

。

由于

为

线性组合的最小正值,可知

。

因此有

,同理

，因此，s是a与b的公约数，所以d

s......

①。

因为d|a，d|b，且s是a与b的一个线性组合，所以由整除性质知d|s。

但由于d|s和s

0，因此d

s......

②。

由

①

②得d=s，命题得证

证法二：

⑴若b=0，则(a,b)=a.这时定理显然成立。

⑵若a,b不等于0.

记d = (a, b), 对ax + by = d，两边同时除以d，可得(a1)x + (b1)y = 1，其中(a1,b1) = 1。

转证(a1)x + (b1)y = 1。由带余除法：

① (a1) = (q1)(b1) + (r1), 其中0 < r1 < b1

② (b1) = (q2)(r1) + (r2), 其中0 < r2 < r1

③ (r1) = (q3)(r2) + (r3), 其中0 < r3 < r2

.....

④ (rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)

⑤ (rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)

⑥ (rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)

⑦ (rn-1) = (qn+1)(rn) + 1

故，由

⑦和

⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1

再结合

⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1

再结合

④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1

.....

再结合

③推出(r1)A1 + (r2)B2 = 1

再结合

②推出(b1)A0 + (r1)B0 = 1

再结合

①推出(a1)x + (b1)y = 1

得证。

不定方程 例题：求不定方程

的整数解.

解：

是方程的一组整数解.

∴

裴蜀定理n个整数间的裴蜀定理

设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特别来说，如果a1...an存在任意两个数是互质的（不必满足两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。证法类似两个数的情况。

裴蜀定理任意主理想环上的情况

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

ax + by = d

这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。

裴蜀定理定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有（-3）×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1) × 42 = 6。

特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

裴蜀定理发展历史

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》第二版中给出了问题的描述和证明。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。

裴蜀定理整数中的裴蜀定理

对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

有整数解（x,y）当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

裴蜀定理裴蜀定理参见

理想 （环论）

欧几里德整环

欧几里德引理

主理想环

整除

裴蜀定理裴蜀定理-参考来源

^ 原版的网上版本（法文）

^ 证明的网上版本（法文）

闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。

唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

Algebraic curves ，2008版，Chapter5.3。

裴蜀定理推广

以上定理可推广到n个，n≥2

如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，（21n+4）/（14n+3）为既约分数。证明：很容易看出3（14n+3）-2（21n+4）=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故（21n+4）/（14n+3）为既约分数。Q.E.D.

另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数。