严格说来不是平行于母线,?而是平行于与之垂直的轴截面上的母线.
立体图不太好作,?姑且用一个平面图来代替一下.
上图是与截面α垂直的轴截面图(虚线以及P,Q两点不在其上).
A是圆锥的锥顶,?AB是与α平行的母线,?AC是与AB对径的母线.
截面α垂直交平面ABC于直线FE,?D是母线AC与α的交点.
作圆锥的一个内切球使其与平面α相切,?球心设为O,?与α的切点设为F(易见F在平面ABC上).
球O与圆锥的切点构成一个圆,?其所在平面记为β,?易知β与平面ABC垂直.
β与平面ABC交于直线BE,?C是母线AC与β的交点.
平面α与β的交线记为l,?易见l垂直交平面ABC于E.
我们证明截线是以F为焦点,?以l为准线的抛物线.
设圆锥的母线与β的夹角为θ,?可知α与β的夹角也为θ.
任取截线上一点P,?设母线AP与平面β交于点Q(注意P,Q未必在平面ABC上).
则PQ与球O相切于Q.
又由球O与平面α相切于F,?可知PF与球O相切于F.
于是PQ与PF是过P点的两条切线,?有PQ?=?PF?(推广切线长定理,?可用勾股定理证明).
由母线AP与β的夹角为θ,?可知P到β的距离为PQ·sin(θ).
而由α与β的夹角为θ,?可知P到β的距离?=?P到l的距离·sin(θ).
故P到l的距离?=?PQ?=?PF.
截线上任意一点到F与l的距离相等,?即截线是以F为焦点以l为准线的抛物线.
(严格来说还应验证抛物线上任意一点都在截线上,?这个不难用同一法证明).
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