什么是拉普拉斯展开

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在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。

详情介绍

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。

中文名

拉普拉斯展开

外文名

Laplace expansion

别名

拉普拉斯公式

所属领域

数学

相关术语

拉普拉斯定理

应用学科

数学

拉普拉斯展开定义

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个

矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n个元素的

余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n行 n列，它的拉普拉斯展开一共有 2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

拉普拉斯展开公式

设B= (b_ij)是一个n×n矩阵。B关于第i行第j列的余子式M_ij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的

余子式。B的

代数余子式：C_ij是指B的

余子式M_ij与(-1)的乘积：

C_ij= (−1)M_ij

拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：

考虑以下的矩阵：

这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

拉普拉斯展开证明

设B是一个

的矩阵，

。为了明确起见，将

的系数记为

，其中

。

考虑B的行列式|B|中的每个含有

的项，它的形式为：

其中的置换τ ∈S_n使得τ(i) =j，而σ ∈S_n-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了S_n−1与{τ∈S_n:τ(i)=j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义σ' ∈S_n使得对于1 ≤k≤n−1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) =n，于是sgnσ' = sgn σ。然后

由于两个轮换分别可以被写成

和

个对换，因此

因此映射σ ↔ τ是双射。由此：

从而拉普拉斯展开成立。

拉普拉斯展开相关定理

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。