什么是超平面

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超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是(n-1)维度。

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超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是(n-1)维度。

这是平面中的直线、空间中的平面之推广（n大于3才被称为“超”平面），是纯粹的数学概念，不是现实的物理概念。

中文名

超平面

外文名

Hyperplane

所属领域

数学

应用学科

几何学

相关术语

平面中的直线、空间中的平面

类型

数学术语

超平面描述

在几何体中，超平面是一维小于其环境空间的子空间。 如果空间是3维的，那么它的超平面是二维平面，而如果空间是二维的，则其超平面是一维线。 该概念可以用于定义子空间维度概念的任何一般空间。

在不同的设置中，超平面的对象可能具有不同的属性。 例如，n维仿射空间的超平面是尺寸为n-1的平坦子集。由于其性质，它将空间分成两个半空间。 n维投影空间的超平面不具有此属性。

在几何形状中，n维空间V的超平面是尺寸为n-1的子空间，或等价于V中的代数1。空间V可以是欧几里德空间，或更一般地是仿射空间，或向量空间或投影空间和超平面的概念因为这些设置中子空间的定义不同而相应变化。然而，在所有情况下，任何超平面可以在坐标中作为单个的解（由于“1”约束）的等式1的代数方程给出。

如果V是向量空间，则区分“向量超平面”（它们是线性子空间，因此必须通过原点）和“仿射超平面”（不需要通过原点）；它们可以通过向量的平移来获得超平面。欧几里德空间中的超平面将该空间分成两个半空间，并定义了一个映射，该映射固定了超平面，并将两个半空间交换。

超平面定义

在数学中，超平面（Hyperplane）是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广。设F为域（可考虑

）。

n 维空间

中的超平面是由方程：

定义的子集，其中

是不全为零的常数。

在线性代数的脉络下，F-矢量空间V 中的超平面是指形如：

的子空间，其中

是任一非零的线性映射。

在射影几何中，同样可定义射影空间

中的超平面。在齐次坐标

下，超平面可由以下方程定义：

其中

是不全为零的常数。

超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。设d是n维欧式空间R中的一个非零向量，a是实数，则R中满足条件dX=a的点X所组成的集合称为R中的一张超平面。

超平面特殊类型

我们定义了几种特定类型的超平面。

超平面仿射超平面

仿射超平面是仿射空间中的代数1的仿射子空间。 在笛卡尔坐标中，可以用以下形式的单一线性方程来描述这样的超平面（至少有一个a_i不是0）：

在真实仿射空间的情况下，换句话说，当坐标为实数时，该仿射空间将空间分成两个半空间，它们是超平面的补码的连接分量，由不等式给出：

和

作为一个例子，一点是一维空间中的超平面，一条线是二维空间中的超平面，一个平面是三维空间中的超平面。 三维空间中的一行不是超平面，并且不将空间分成两部分（这样一条线的补码连接起来）。

欧几里德空间的任何超平面具有两个单位法向量。

仿射超平面用于定义许多机器学习算法中的决策边界，例如线性组合（倾斜）决策树和感知器。

超平面矢量超平面

在矢量空间中，矢量超平面是代数1的子空间，只能通过向量从原点移位，在这种情况下，它被称为平面。 这样的超平面是单一线性方程的解。

超平面投影超平面

投影超平面，用于投影几何。 投影子空间是一组具有属性的点，对于集合中的任何两个点，由两点确定的线上的所有点都包含在集合中。投影几何可以被看作是添加了消失点（无穷远点）的仿射几何。 仿射超平面与无限相关点形成投影超平面。投影超平面的一个特殊情况是无限或理想的超平面，其定义为无限远的所有点的集合。

在投影空间中，超平面不会将空间分为两部分： 相反，它需要两个超平面来分离点并分割空间。其原因是空间基本上“包围”，使得单个超平面的两侧彼此连接。

超平面二面角

欧几里德空间的两个非平行超平面之间的二面角是相应法向量之间的角度。 两个超平面中的变换的乘积是一个旋转，其轴是通过与超平面相交获得的代码2的子空间，其角度是超平面之间的角度的两倍。