什么是离散傅里叶级数

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离散傅里叶级数，连续周期信号的连续傅里叶级数有着无穷多的离散频率分量，相邻分量的间距由信号的周期决定，等于1/T（角度，弧度乘2π）。

详情介绍

离散傅里叶级数，连续周期信号的连续傅里叶级数有着无穷多的离散频率分量，相邻分量的间距由信号的周期决定，等于1/T（角度，弧度乘2π）。

中文名

离散傅里叶级数

外文名

discrete Fourier series

特点

周期性，离散性

缩写

DFS

离散傅里叶级数简介

和连续周期信号相比，离散周期信号的离散傅里叶级数的频谱是周期性的，因为时域的连续对应于频率的非周期，时域的离散对应于频率的周期。所以我们只需要在（0，2π）的频域区间上取N个点就可以完整表示出来了。这是连续周期信号和离散周期信号傅里叶级数的最根本区别。

离散傅里叶级数计算公式

周期为N的周期序列

，其离散傅里叶级数为

：

其中，DFS的逆变换序列：

（k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

离散傅里叶级数进一步分析

连续周期信号的离散化（下面的讨论中，

）：

首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数

是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当

是有理数时，离散信号f才是周期函数。

其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号

对应的离散信号

对k也具有周期性，其周期为N，即

中只有N个不同的序列。

从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出，

也是对k周期为N的函数。

离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f进行的，如果我们对f的定义拓广为周期函数f'：

<。并且当

时，f'实际上就是f，那么我们现在可以求出f'的傅里叶级数。同样，当

时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数

（正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。