博弈：数字游戏

设这个数是N位数，则

a. N为奇数时，这个数各个位之和为偶数时，先手必赢。

b. N为偶数时，这个数各个位之和为奇数时，先手必赢。

首先，把这个数各个位上的数按以下规则变换

偶数变为0，奇数变为1.（因为2->1->0 需要2手，即1个回合，所以2等同于0。以此类推。）例：1234->1010

然后，为了不让对手赢，在上述化简过程中，双方会尽量化简到1111这种形式。

所以，

a. N为奇数时，这个数各个位之和为偶数时，先手必赢。

b. N为偶数时，这个数各个位之和为奇数时，先手必赢。

棋类游戏的算法有哪些

　棋类游戏通常包含三大要素：棋盘、棋子和游戏规则，其中游戏规则又包括胜负判定规则、落子的规则以及游戏的基本策略。下面我来给大家讲讲各类棋类游戏的算法。

　除了棋盘和棋子的建模，棋类游戏最重要的部分就是AI算法的设计。目前棋类游戏的AI基本上就是带启发的搜索算法，那么常用的搜索算法有哪些呢?

　1. 博弈与博弈树

　博弈可以理解为有限参与者进行有限策略选择的竞争性活动，比如下棋、打牌、竞技、战争等。根据参与者种类和策略选择的方式可以将博弈分成很多种，比如?二人零和、全信息、非偶然?博弈，也就是我们常说的零和博弈(Zero-sum Game)。所谓?零和?，就是有赢必有输，不存在双赢的结果。所谓?全信息?，是指参与博弈的双方进行决策时能够了解的信息是公开和透明的，不存在信息不对称的情况。比如棋类游戏的棋盘和棋子状态是公开的，下棋的双方都可以看到当前所有棋子的位置，但是很多牌类游戏则不满足全信息的条件，因为牌类游戏都不会公开自己手中的牌，也看不到对手手中的牌。所谓的?非偶然?，是指参与博弈的双方的决策都是?理智?的行为，不存在失误和碰运气的情况。

　在博弈过程中，任何一方都希望自己取得胜利，当某一方当前有多个行动方案可供选择时，他总是挑选对自己最为有利同时对对方最为不利的那个行动方案。当然，博弈的另一方也会从多个行动方案中选择一个对自己最有利的方案进行对抗。参与博弈的双方在对抗或博弈的过程中会遇到各种状态和移动(也可能是棋子落子)的选择，博弈双方交替选择，每一次选择都会产生一个新的棋局状态。

　假设两个棋手(可能是两个人，也可能是两台计算机)MAX和MIN正在一个棋盘上进行博弈。当MAX做选择时，主动权在MAX手中，MAX可以从多个可选决策方案中任选一个行动，一旦MAX选定某个行动方案后，主动权就转移到了MIN手中。MIN也会有若干个可选决策方案，MIN可能会选择任何一个方案行动，因此MAX必须对做好应对MIN的每一种选择。如果把棋盘抽象为状态，则MAX每选择一个决策方案就会触发产生一个新状态，MIN也同样，最终这些状态就会形成一个状态树，这个附加了MAX和MIN的决策过程信息的状态树就是博弈树(Game Tree)。

　2. 极大极小值搜索算法

　极大极小值(Min-Max)搜索算法是各种博弈树搜索算法中最基础的搜索算法。假如MAX和MIN两个人在下棋，MAX会对所有自己可能的落子后产生的局面进行评估，选择评估值最大的局面作为自己落子的选择。这时候就该MIN落子，MIN当然也会选择对自己最有利的局面，这就是双方的博弈，即总是选择最小化对手的'最大利益(令对手的最大利益最小化)的落子方法。作为一种博弈搜索算法，极大极小值搜索算法的名字就由此而来。

　3. 负极大值搜索算法

　博弈树的搜索是一个递归的过程，极大极小值算法在递归搜索的过程中需要在每一步区分当前评估的是极大值节点还是极小值节点。1975年Knuth和Moore提出了一种消除MAX节点和MIN节点区别的简化的极大极小值算法，称为负极大值算法Negamax。该算法的理论基础是：

　max(a,b) = -min(-a, -b)

　简单地将递归函数MiniMax()返回值取负再返回，就可以将所有的MIN 节点都转化为MAX节点，对每个节点的搜索都尝试让节点值最大，这样就将每一步递归搜索过程都统一起来。

　4. ?-?剪枝算法

　有很多资料将?-?剪枝算法称为?-?搜索算法，实际上，它不是一种独立的搜索算法，而是一种嫁接在极大极小值算法和负极大值算法上的一种优化算法。?-?剪枝算法维护了一个搜索的极大极小值窗口：[?,?]。其中?表示在搜索进行到当前状态时，博弈的MAX一方所追寻的最大值中最小的那个值(也就是MAX的最坏的情况)。在每一步的搜索中，如果MAX所获得的极大值中最小的那个值比?大，则更新?值(用这个最小值代替?)，也就是提高?这个下限。

　而?表示在搜索进行到当前状态时，博弈的MIN一方的最小值中最大的那个值(也就是MIN的最坏的情况)。在每一步的搜索中，如果MIN所获得的极小值中最大的那个值比?小，则更新?值(用这个最大值代替?)，也就是降低?这个上限。当某个节点的时，说明该节点的所有子节点的评估值既不会对MAX更有利，也不会对MIN更有利，也就是对MAX和MIN的选择不会产生任何影响，因此就没有必要再搜索这个节点及其所有子节点了。

　5. 估值函数

　对于很多启发式搜索算法，其?智力?的高低基本上是由估值函数(评估函数)所决定，棋类游戏的博弈树搜索算法也不例外。

　估值函数的作用是把一个棋局量化成一个可直接比较的数字，这个数字在一定程度上能反映取胜的概率。棋局的量化需要考虑很多因素，量化结果是这些因素按照各种权重组合的结果。这些因素通常包括棋子的战力(棋力)、双方棋子占领的空间、落子的机动性、威胁性(能吃掉对方的棋子)、形和势等。

　6. 置换表与哈希函数

　置换表(transposition table)也是各种启发式搜索算法中常用的辅助算法，它是一种以空间换时间的策略，使用置换表的目的就是提高搜索效率。一般情况下，置换表中的每一项代表者一个棋局中最好的落子方法，直接查找置换表获得这个落子方法能避免耗时的重复搜索，这就是使用置换表能大幅提高搜索效率的原理。

　使用置换表最大的问题是置换表的组织和查找的效率。一般来说，置换表越大，查找的命中率就越高。但这个关系不是绝对的，当置换表大小达到一定规模后，不仅不会再提高命中率，反而会因为耗时的查找操作影响算法的效率。所以置换表不是越大越好，需要根据计算机的性能以及搜索的深度选择一个合适的大小。此外，为了查找操作更高效，通常都会用可直接访问的哈希表方式组织置换表，哈希函数的性能就成为影响置换表性能的重要因素。棋类游戏普遍采用Zobrist哈希算法。